什么是向量

向量的定义

• 向量是有大小和方向的有向线段
• 向量没有位置，只有大小和方向
• 向量的箭头是向量的结束点，尾巴是向量的起始点
• 向量描述的位移能被认为是与轴平行的位移序列
• 向量表示：三维（ax，ay，az） 二维（ax，ay）

向量与标量

• 向量：有大小和方向的有向线段
• 标量：只有大小，没有方向的量

向量与点

• 向量和点数学形式上相等，但几何意义完全不同
• 点：有位置，没有实际大小或方向
• 向量：无位置，有实际大小和方向
• 联系：任何一个点都可以看作是从原点出发的向量

如何计算

标量与向量之间的计算

• 不可加
• 不可减
• 可乘：将向量的每个分量与标量相乘即可
• 可除：将向量的每个分量与标量的倒数相乘
• 几何解释：向量乘以标量的效果是以标量的大小缩放向量的长度，负值则方向相反
• 例子：-2 *（2，-5）=（-4，10）    （6，-2，-4）/ 2 = （3，-1，-2）

向量的模长

计算公式：||v|| = pow（pow（vx，2）+pow（vy，2），0.5）；

几何解释：当我们将所示向量作为斜边构建一个直角三角形，所示向量的大小（模长）即可通过扫侥幸勾股定理推出

例子：（-12，5）的模长为 pow（pow（-12，2）+pow（5，2），0.5）=pow（144+25，0.5）=13

标准化向量

·标准化向量（单位向量）就是大小为1的向量。（适用范围：仅需要知道方向而不关心其大小，例如法线）

·运算法则：将向量除以她的大小（模长），v_{normal}=\frac{v}{|v|}，v ≠ 0（API：normalize（Vector3））

·例子：标准化向量（12，-5）， \frac{[12-5]}{|[12-5]|}=\frac{[12-5]}{\sqrt[]{12^2+(-5)^2}}

向量之间的加减法计算

计算公式（ax，ay）+（bx，by） = （ax+bx，ay+by）

加法：对应位置相加    例：（1，-4）+（7，3）=（8，1）

减法：对应位置相减    例：（-3，6）-（-4，3）=（1，3）

几何解释：假设有向量（ax，ay）和（bx，by），a向量加b向量最后得到的是从a向量起点到b向量结束之间形成的新的向量

计算两点间距离：距离公式

计算公式：

应用范围：计算一个向量到另一个向量的距离（a 到 b 的位移向量为 b-a）

几何解释：

向量的点积计算

乘法之点积（又称点乘，内积）

计算公式：（a_x,a_y）\cdot (b_x,b_y) = (a_xb_x+a_yb_y)

向量点乘就是分量乘积的和，结果是一个标量，并满足乘法交换律a\cdot b=b\cdot a

向量点积的几何意义与向量的投影

几何解释：点乘记过描述了两个向量方向的“相似”程度，点乘结果越大，夹角角度越小，两个向量越接近(反馈到渲染上就是面的明暗效果）

计算公式： a · b = |a||b|cosΘ

投影的几何解释：假设有两个向量 V 和 N，将V分解为两个向量， V平行 和 V垂直 ，V平行 平行于 N，V垂直垂直于N，并满足 V = V平行 + V垂直 ，则称平行分量 V平行 为在 N 上的投影

兰伯特光照模型

兰伯特光照模型是目前最简单通用的模拟漫发射的光照模型

使光照方向的反方向为 L 向量，法线方向为 N 向量，则有：

• L 与 N 方向相同，则Normal · Light = 1（纯亮）
• L 与 N 方向相反，则Normal · Light = -1（纯黑）
• L 与 N 方向垂直，则Normal · Light = 0（纯黑）

向量的叉积计算

乘法之叉积（又称叉乘，叉积）    仅运用于3D向量

计算公式：

不满足交换律，a x b ≠ b x a，满足逆交换律：a x b = -（b x a）

向量叉乘就是分量交叉相乘再相减，结果是一个向量且不满足交换律

几何解释：叉乘得到的向量垂直于原来的两个向量

向量叉积的大小与方向判断

计算公式：