左手坐标系和右手坐标系
为什么在三维笛卡儿坐标系中要区分左手坐标系和右手坐标系，而二维中就没有这些烦人的事情呢？这是因为，在二维笛卡儿坐标系中， x 轴和y 轴的指向虽然可能不同，就如我们在图4.4中看到的一样。但我们总可以通过一些旋转操作来使它们的坐标轴指向相同。
从这种意义上来说，所有的二维笛卡儿坐标系都是等价的。
但对于三维笛卡儿坐标系，靠这种旋转有时并不能使两个不同朝向的坐标系重合。例如，在图4. 6 中， +z 轴的方向指向纸面的内部，如果有另一个三维笛卡儿坐标系，它的+z 轴指向纸面外部， x 轴和y 轴保持不变，那么我们可以通过旋转把这两个坐标轴重合在一起吗？答案是否定的。我们总可以让其中两个坐标轴的指向重合，但第三个坐标轴的指向总是相反的。
也就是说， 三维笛卡尔坐标系并不都是等价的。
因此，就出现了两种不同的三维坐标系： 左手坐标系和右手坐标系。
除了坐标轴朝向不同之外，左手坐标系和右手坐标系对千正向旋转的定义也不同，即在初高 中物理中学到的左手法则(left-band rule) 和右手法则(right-band rule) 。
我们可以分别在一个左手坐标系和右手坐标系中描述这样一次运动， 即使用数学表达式来描 述它。我们会发现，在不同的坐标系中描述这样同一次运动是不一样的，如图4.11 所示。
为了达到同样的视觉效果，左右手坐标系在z 轴上的移动以及旋转方向是不同的。
点和矢量
**点(point) **是n 维空间（游戏中主要使用二维和三维空间）中的一个位置， 它没有大小、宽度这类概念。
**矢量(vector, 也被称为向量）的定义则复杂一些。矢量是指n 维空间中一种包含了模(magnitude) 和方向(direction) **的有向线段。
- 矢量的模指的是这个矢量的长度。一个矢量的长度可以是任意的非负数。
- 矢量的方向则描述了这个矢量在空间中的指向。
- 矢量的表示方法和点类似。我们可以使用v=(x,y)来表示二维矢拯，用v=(x,y,z)来表示三维矢 量，用v=(x,y,z,w)来表示四维矢量。 通常，矢量被用于表示相对于某个点的偏移(displacement), 也就是说它是一个相对量。只要矢量的模和方向保持不变， 无论放在哪里，都是同一个矢量。
矢量通常用千描述偏移扯，因此，它们可以用千描述相对位置，即相对于另一个点的位置，此时矢量的尾是一个位置，那么矢量的头就可以表示另一个位置了。而一个点可以用于指定空间中的一个位置（即相对于原点的位置） 。如果我们把矢量的尾固定在坐标系原点， 那么这个矢量的表示就和点的表示重合了。图4.16表示了两者之间的关系。
为了方便阐述，我们对不同类型的变量在书写和印刷上使用不同的样式。
- 对于标量，我们使用小写字母来表示，如a, b, x, y, z, θ, α等。
- 对于矢量， 我们使用小写的粗体字母来表示，如a, b, u, v等。
- 对于后面要学习的矩阵，我们使用大写的粗体字母来表示，如**A, B, S, M, R **等。
矢量和标量的乘法／除法
标量是只有模没有方向的童， 虽然我们不能把矢量和标盘进行相加/相减的运算（想象一下， 你会把速度和距离相加吗）， 但可以对它们进行乘法运算， 结果会得到一个不同长度且可能方向相反的新的矢量。
注意， 对于乘法来说， 矢量和标量的位置可以互换。但对于除法， 只能是矢量被标量除， 而不能是标量被矢量除， 这是没有意义的。
矢量的加法和减法
我们可以对两个矢量进行相加或相减， 其结果是一个相同维度的新矢量。
需要注意的是，一个矢量不可以和一个标量相加或相减，或者是和不同维度的矢量进行运算。
从几何意义上来看， 对于加法， 我们可以把矢量a 的头连接到矢量b的尾， 然后画一条从a的尾到b的头的矢量， 来得到a和b相加后的矢量。也就是说， 如果我们从一个起点开始进行了一个位置偏移a, 然后又进行一个位置偏移b, 那么就等同于进行了一个a+b的位置偏移。这被称为矢量加法的**三角形定则(triangle rule) **。矢量的减法是类似的，如图4.18 所示。
矢量的模
正如我们之前讲到的一样，矢量是有模和方向的。矢量的模是一个标量，可以理解为是矢量在空间中的长度。它的表示符号通常是在矢量两旁分别加上一条垂直线（有的文献中会使用两条垂直线）。
三维矢量的模的计算公式如下：
|v|=\sqrt{{v_x^2+v_y^2+v_z^2}}
其他维度的矢量的模计算类似，都是对每个分量的平方相加后再开根号得到。
|(1,2,3)|=\sqrt{{1^2+2^2+3^2}}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}≈3.742
|(3,4)|=\sqrt{{3^2+4^2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5
我们可以从几何意义来理解上述公式。对于二维矢量来说，我们可以对任意矢量构建一个三角形，如图4.20 所示。
从图4.20 可以看出，对于二维矢量，其实就是使用了勾股定理，矢量的两个分量的绝对值对应了三角形两个直角边的长度，而斜边的长度就是矢量的模。
单位矢量
在很多情况下，我们只关心矢量的方向而不是模。
单位矢量指的是那些模为1的矢量。单位矢量也被称为被归一化的矢量(normalized vector)。对任何给定的非零矢量，把它转换成单位矢量的过程就被称为归一化(normalization)。
为了对矢量进行归一化，我们可以用矢量除以该矢量的模来得到。公式如下：
\hat{v} = \frac {v}{|v|}
零矢量（即矢量的每个分量值都为0, 如v=(0,0,0)) 是不可以被归一化的。这是因为做除法运算时分母不能为0。
矢量的点积
矢量之间也可以进行乘法，但是和标量之间的乘法有很大不同。矢量的乘法有两种最常用的种类：点积(dot product, 也被称为内积，inner product) 和叉积(cross product, 也被称为外积， outer product)。
公式一：a\cdot b=(a_x,a_y,a_z)\cdot (b_x,b_y,b_z)=a_x b_x+a_y b_y+a_y b_y
点积的符号可以让我们知道两个矢量的方向关系。
这意味着， 我们可以直接利用点积来求矢量的模， 而不需要使用模的计算公式。 当然， 我们需要对点积结果进行开平方的操作来得到真正的模。 但很多情况下， 我们只是想要比较两个矢量的长度大小， 因此可以直接使用点积的结果。 毕竟， 开平方的运算需要消耗一定性能。
矢量的叉积
另一个重要的矢量运算就是叉积(cross product), 也被称为外积(outer product)。与点积不同的是， 矢量叉积的结果仍是一个矢量， 而非标量。
需要注意的是，叉积不满足交换律， 即ab \ne ba 。实际上，叉积是满足反交换律的，即ab=-(ba) 。而且叉积也不满足结合律，即(ab)c \ne a(bc) 。
我们先来看它的模。a*b 的长度等于a 和b 的模的乘积再乘以它们之间夹角的正弦值。公式如下：
|a*b|=|a||b|sin\theta
需要注意的是， 虽然看起来左右手坐标系的选择会影响叉积的结果， 但这仅仅是“看起来” 而已。从叉积的数学表达式可以发现， 使用左手坐标系还是右手坐标系不会对计算结果产生任何影响， 它影响的只是数字在三维空间中的视觉化表现而已。当从右手坐标系转换为左手坐标系时， 所有点和矢量的表达和计算方式都会保持不变，只是当呈现到屏幕上时，我们可能会发现，＇｀咦，怎么图像反过来了！ ”。当我们想要两个坐标系达到同样的视觉效果时， 可能就需要改变一些数学运算公式， 这不在本书的范畴内。有兴趣的读者可以参考本章的扩展阅读部分。
矩阵
定义：从它的外观上来看，就是一个长方形的网格，每个格子里放了一个数字。的确，矩阵就是这么简单： 它是由mXn 个标量组成的长方形数组。
m_{ij} 表明了这个元素在矩阵m的第i 行、第j 列。
和矢量联系起来
我们可以用矩阵来表示矢量。实际上，矢量可以看成是*n1 的列矩阵(column matrix) 或*1n** 的行矩阵(row matrix)**, 其中n 对应了矢量的维度
矢量可以像一个矩阵一样一起参与矩阵运算。这在空间变换中将非常有用。
矩阵运算
矩阵和标量的乘法
解释：对于每个元素C_{ij}, 我们找到A 中的第i行和B 中的第j列，然后把它们的对应元素相乘后再加起来，这个和就是C_{ij}
特殊的矩阵
方块矩阵(square matrix)
单位矩阵(identity matrix)
转置矩阵(transposed matrix)
逆矩阵(inverse matrix)
不是所有的矩阵都有逆矩阵，第一个前提就是，该矩阵必须是一个方阵。
正交矩阵(orthogonal matrix)
在Unity 中，常规做法是把矢量放在矩阵的右侧，即把矢量转换成列矩阵来进行运算。
矩阵的几何意义：变换
什么是变换
我们先来看一个非常常见的变换类型一线性变换(linear transform)。线性变换指的是那些可以保留矢量加和标量乘的变换。用数学公式来表示这两个条件就是：
f(x)+f(y)=f(x+y)
kf(x)=f(kx)
仿射变换(affine transform) 。仿射变换就是合并线性变换和平移变换的变换类型。仿射变换可以使用一个4x4的矩阵来表示，为此，我们需要把矢量扩展到四维空间下，这就是齐次坐标空间(homogeneous space) 。