第一讲：方程组的几何解释

我们从求解线性方程组来开始这门课，从一个普通的例子讲起：方程组有 \(2\) 个未知数，一共有 \(2\) 个方程，分别来看方程组的“行图像”和“列图像”。

有方程组 \(\begin{cases}2x&-y&=0\\-x&+2y&=3\end{cases}\)，写作矩阵形式有 \(\begin{bmatrix}2&-1\\-1&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix}\)，通常我们把第一个矩阵称为系数矩阵 \(A\)，将第二个矩阵称为向量 \(x\)，将第三个矩阵称为向量 \(b\)，于是线性方程组可以表示为 \(Ax=b\)。

1. 行图像 (Row Picture)

我们来看行图像，即直角坐标系中的图像：

上图是我们都很熟悉的直角坐标系中两直线相交的情况。

2. 列图像 (Column Picture)

接下来我们按列观察方程组 \(x\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix}\)（我们把第一个向量称作 \(col_1\)，第二个向量称作 \(col_2\)，以表示第一列向量和第二列向量），要使得式子成立，需要第一个向量加上两倍的第二个向量，即 \(1\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix}\)。

现在来看列图像，在二维平面上画出上面的列向量：

如图，绿向量 \(col_1\) 与蓝向量（两倍的蓝绿向量 \(col_2\)）合成红向量 \(b\)。

接着，我们继续观察 \(x\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix}\)，\(col_1,col_2\) 的某种线性组合得到了向量 \(b\)，那么 \(col_1,col_2\) 的所有线性组合能够得到什么结果？它们将铺满整个平面。

3. 三个未知数的方程组

下面进入三个未知数的方程组：\(\begin{cases}2x&-y&&=0\\-x&+2y&-z&=-1\\&-3y&+4z&=4\end{cases}\)，写作矩阵形式 \(A=\begin{bmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-3&4\end{bmatrix},\ b=\begin{bmatrix}0\\-1\\4\end{bmatrix}\)。

在三维直角坐标系中，每一个方程将确定一个平面，而例子中的三个平面会相交于一点，这个点就是方程组的解。

同样的，将方程组写成列向量的线性组合，观察列图像：\(x\begin{bmatrix}2\\-1\\0\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}-1\\2\\-3\end{bmatrix}+z\begin{bmatrix}0\\-1\\4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\-1\\4\end{bmatrix}\)。易知教授特意安排的例子中最后一个列向量恰巧等于等式右边的 \(b\) 向量，所以我们需要的线性组合为 \(x=0,y=0,z=1\)。假设我们令 \(b=\begin{bmatrix}1\\1\\-3\end{bmatrix}\)，则需要的线性组合为 \(x=1,y=1,z=0\)。

我们并不能总是这么轻易的求出正确的线性组合，所以下一讲将介绍消元法——一种线性方程组的系统性解法。

4. 可解性与矩阵乘法

现在，我们需要考虑，对于任意的 \(b\)，是否都能求解 \(Ax=b\)？用列向量线性组合的观点阐述就是，列向量的线性组合能否覆盖整个三维向量空间？对上面这个例子，答案是肯定的，这个例子中的 \(A\) 是我们喜欢的矩阵类型，但是对另一些矩阵，答案是否定的。那么在什么情况下，三个向量的线性组合得不到 \(b\)？

——如果三个向量在同一个平面上，问题就出现了——那么他们的线性组合也一定都在这个平面上。举个例子，比如 \(col_3=col_1+col_2\)，那么不管怎么组合，这三个向量的结果都逃不出这个平面，因此当 \(b\) 在平面内，方程组有解，而当 \(b\) 不在平面内，这三个列向量就无法构造出 \(b\)。在后面的课程中，我们会了解到这种情形称为奇异、矩阵不可逆。

下面我们推广到九维空间，每个方程有九个未知数，共九个方程，此时已经无法从坐标图像中描述问题了，但是我们依然可以从求九维列向量线性组合的角度解决问题，仍然是上面的问题，是否总能得到 \(b\)？当然这仍取决于这九个向量，如果我们取一些并不相互独立的向量，则答案是否定的，比如取了九列但其实只相当于八列，有一列毫无贡献（这一列是前面列的某种线性组合），则会有一部分 \(b\) 无法求得。

矩阵乘法

接下来介绍方程的矩阵形式 \(Ax=b\)，这是一种乘法运算，举个例子，取 \(A=\begin{bmatrix}2&5\\1&3\end{bmatrix},\ x=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}\)，来看如何计算矩阵乘以向量：

• 我们依然使用列向量线性组合的方式，一次计算一列，\(\begin{bmatrix}2&5\\1&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}=1\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}5\\3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}12\\7\end{bmatrix}\)
• 另一种方法，使用向量内积，矩阵第一行向量点乘 \(x\) 向量 \(\begin{bmatrix}2&5\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}^T=12,\ \begin{bmatrix}1&3\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}^T=7\)。

教授建议使用第一种方法，将 \(Ax\) 看做 \(A\) 列向量的线性组合。